GB 4086.3-1983 统计分布数值表 t分布的部分内容

中华人民共和国国家标准

统计分布数值表

t分布　

Tables for statistical distributionst-distribution

UDC 311.13(083.5)

GB 4086.3--83

本标准包括统计学中常用的分布的两种数值表，它们的名称、表距和精度如下：1分布函数表

t分布分位数表

=1(1)20(2)30(5)50,60

t =0(0.1)4(0.2)5(0.5)7

b= 0.5(0.05)0.95.0.975. 0.98.0.99. 0.995.0.9975, 0.998, 0.999, 0.9995, 0.9998,0.9999V=1(1)30(2)40(5)70(10)120150，180，240,cx表中的分位数对应于下侧概率。虽然表中给出5～6位小数，但是在使用中需要取几位，要由实际问题决定。在应用中不能满要求时，可参考附录的处理方法。国家标准局1983-12-21发布

6位小数

5位小数

19841001实施

838586

858537

864200

.89081

.897584

900674

.931862

951410

746183

788675

863803

908248

920596

925926

930775

984248

986664

988570

.824158

.857766

871996

.884708

936717

.942414

981619

983998

987684

290344

992304

994085

8:996303

868274

969976

981889

990448

.996255

.903048

.97587

8:999542

959761

994317

表对自出度和t给出分布函数P（）的数值。例：对于v=8和t=3.9，P（t；V）=0.997728。0.774999

992467

965531

998857

999838

999906

887047

902486

8:994584

.996638

.998847

999140

999355

999810

940015

948974

956689

977873

990603

.993328

995993

997137

999332

999638

337333

719668

.919121

941402

950342

989672

.997515

998249

577585

615345

.720167

8:951484

965672

975932

979901

988387

.991978

996830

999567

539065

577712

615540

8:972094

8:988997

997126

639119

892701

998551

.99902

721269

893388

909072

973472

981888

987747

998021

998388

999289

999742

753010

968614

990330

996560

997740

8:999214

999363

本表对于自度和给出t分布涵数P（t；）的数值。P(t; w)=#.752302

例：对14和t=0.7，

753302

834334

979038

8:998668

:997376

997885

998628

998896

999111

999285

299699

100001

999945

578139

894999

8:936498

946827

.539304

578797

1989130

997052

1997643

998802

999240

999395

999580

999731

999827

999889

999954

.999984

999996

817919

895808

998212

8:999291

999551

.999648

999780

999913

999949

999966

999988

t分布函数表

p(t,v) =

539375

688980

.722682

835908

926085

964690

0:980697

989816

991877

994782

996703

997387

.998988

.999375

.999509

999698

1999815

(1++2/v) -(v+1)/2

-αVVB(1/2, v/2)

539413

.836357

.957778

.976789

987745

992148

285035

998080

999564

539444

616719

836736

879520

981553

990471

995245

.997057

1998199

.998596

.999766

8999952

GB 4086.3--83

500000

723334

755149

8:939589

.977568

981887

.998297

998680

.999790

.500000

539495

723494

755340

.988597

990942

0994358

578681

654206

689898

723814

0994696

.99984

木表对于自由度v和t给出t分布函数P（t；\）的数值。例：对Fv=45和t=3，P（t；v）=0.997805。40

500000

724242

998740

999052

999883

999983

000000

539628

724392

756414

.996378

.998806

999895

999972

8:756684

.882572

.939571

942574

.961556

.974983

980029

990242

992415

994140

996567

997396

998901

：999185

999677

8:999765

999912

（分布分位数表

tp(v):f

狂530

8:80000

(1 +t2/v)\(#+*) 2

VUR(1/2, V/2)

0:0008

e:0008

8:1233

.26317

8:25692

.25658

:25419

GB4086.3-83

8:3396

8:38997

138978

.54348

.54153

133144

8·52967

:88485

.67801

本表对于自出度\和下侧概率给出1分布的分位数（V）例：对=100和-0.90，（）=1.29007。当p0.5时，tp() t-p()。例：ta.t（100)与双侧概率（相应的分位数为：α？（：132

.90570

th.u(100)=-1.29007

：18957

111916

1:07928

.05932

.05752

t。(v)

.47588

.39682

.34503

.34061

.32124

.31143

.30695

129582

.29103

.28509

.91999

.94318

对 +m- 100利a- 0.2, t: α2 (v)- (3u(100) -1.29007.分布分位数表

tp(u):

10:7:8:01

.30265

(1+t2/)(#+1)/2

wB(1/2,/2)

.20099

.06390

.05954

.92439

2:00030

.99444

1:9996

.98667

120470

.09936

.09578

.08088

.07631

:50832

：4998

GB4086.3-83

2:67729

.90602

.80703

318.30884

.06433

：81778

本表对于自由度和下侧概率p给出t分布的分位数t（v)。例：对于y=20和p=0.999，tp（）=3.55181。4.

.43698

3:45019

.22041

当p0.5时,tp(v)- tr-p(v)。例:to.ol(20)-- to.9gy(20)=-3.55181。.01500

.29053

159794

3183.0988

79-7000

.67757

2:81839

3:88218

与双侧概率α相应的分位数为t：：a/2（V）。例：对于=20和α0.002，t1-a/z（)-to.99g（20）=3.5518113.

GB4086.3-83

附录Ａ

计算方法

（参考件）

这里给出本标准两种数值表的计算方法。在本标准所列数表不能满足要求时，可参考这些算法及附录B的程序进行计算，或者使用插值方法作粗略计算。A.1t分布的定义与记号

自由度为的t分布的密度函数是

f(t;v)=

式中： B(a,b)=

分布函数是

B(,）

=1,2,3,。

l a-1(1-)b-1d。

P(t, v)

与下侧概率p对应的分位数tp（）满足如下方程：(1+

f (t,v) dt.

P(tp(v),v)= p。

注：t分布在自由度v→α时的极限分布为正态分布。A.28分布与t分布的关系

A.2.1B分布的定义与记号

参数为α，b的β分布的密度函数是B(d,6)a+(1)--, 0≤<, a>0, b>0.fe(a,a, b)=

分布函数是

-29-1 (1- )b\1d。

Ir(a,b)= {

。B(a,b)

与下侧概率p对应的分位数p（a，b）满足方程rxp(a,b)

A.2.2β分布与t分布的关系

B(a,b)

对比t分布与β分布得t分布的分布函数P(t;v)=1

武中： 3

a-l(1-α)b-Id=p。

Ir(a,b),

分位数是

式中：

l 2(1 - p)

A.3计算方法

GB4086.3—83

tp(v)= sign(p-

A.3.1其它分布的引用

p* (a, b)

a．根据上述，t分布计算可转化为β分布计算。因此这里实际上是给出β分布的计算方法。b。本附录涉及正态分布分位数up的计算，可参考GB4086.1-83《统计分布数值表正态分布》的附录A。

A.3.2B分布密度函数与分布函数的计算使用由分部积分法得到的递推公式I(a+1,b)= Is(a,b)-1Ur(a,b),

IUr(a,b),

I, (a, 6+1)= I(a, b)+-

Us (a+1,b)=Us(a,b) α+b

tU (a,b+1)=U+(a,b)-+tb

(1-α)。

式中：U(a,b)=

-α\(1-α)b

这里只考虑α与b都是整数倍的情形，这时递推初值为【1（）

）={-

I（,)=,

I（1,）=V-,

I（１，1）=α，

U(,)=(1-),

U( ）(),

U（1,）=

lUr（，１）=α(1-z)。

A.3.38分布分位数的计算

若参数a，b是一

-或1，由下式直接计算

GB4086.3-83

αp（

1+ tan2(号(1- p)),

1）=2，

p(1,)=1(1-p),

l cp(1,1)= p.

其它场合使用送代法计算（见GB4086.1的附录A.3），初始值由如下方法给出：rp(a,b)=

a。若α,b两参数中有一个等于，于号，则定义

t = tp*+

式中u*是与下侧概率p*对应的正态分位数，p* = -

F=2（当b=

-Yi(up*)，

v=26,F=

（当a=

22（u3+u)，

(5u5+ 16u3 +3u),

Y2(u)=

Y4(u)=

(3u? +19u5+17u3-15u)，

(79u9 +776u? + 1482u5-1920u3- 945u),Ys(u)=

(27ull+339u9+930u?-1782u5-765u3+17955u）。213.32.5

b。若c,6两参数中没有一个等于，则定义F

式中：*=1p，c=　

(1-c)(1-d)+up*(ic)2d+(1-d)2c-cdus.(1- d)2- dug*

B.1说明

GB4086.3—83

附录B

计算程序

（参考件）

这单给出用F本标准实际计第的四个FORTRAN语高了程序。它们是BFTAFD：用」计算8分布的密度函数和分布函数，BETAXD：用于计算βB分布的分位数，TFD：用于计算1分布的分布函数，TXD：用F计算t分布的分位数。

程序使用附录A的计算方法，即把t分布转化为β分布计算，因而两个分布的计算程亲是必要的此外，它们运行时又需调用两个F态分布于程序NORFD与NORXD，可参考GB4086.J的附录B：望然本标准印出的数表只取5～6位小数，但程序的计算精度通常叫达10·10程序

SUBROUTINE BETAFD(X,N2A,N2B,P,DENS)INTEGER N2A,N2B

DOUBLE PRECISION X,P,UENS

**PURPOSE**

DISTRIBUTION FUNCTION AND DENSITY OF BETA DISTRIBUTIONWITH HALF INTEGER PARAMETERS** ARGUMENTS **

ONNETRY

ON RETURN

N2A=2*A. (A-1)TH POWER OF X IN BETA DISTRIBUTIONBETF0001

BETF0002

BETF0003

BETF0004

BETF0005

BETF0006

BEIF0007

BETF0008

BETF0009

BETF0010

BETF0011

BETF0012

BETF0013

BETFO014

N2B=2*B. (B-1)TH POWER OF (1-X) IN BETA DISTRIBUTION BETF0015BETF0016

BETA POINT

RE1F0017

LOWER PROBABILITY

DENSITY

**REQUIREDROUTINES **

** ALGORITHM **

THE RECURRENCE FORMULA

I(X,A+1,B) = I(X,A,B) - (U(A.B)/A).ICX.A,B+1) = I(X,A,B) + (U(A,B)/B),U(A+1,B) = U(A.B)*X*(A + B)/A.U(A,B+1) = U(A,B)*(1-X)*(A+B)/B,WHERE

I(X.A,B) IS DISTRIBUTION FUNCTION OF BETA DISTRIBUTION.U(A,B) = X**A*(1-X)**B/BETA(A,B),BETA(A,B) IS BETA FUNCTION.

INITIAL VALUES

I(X,1/2,1/2) = 1 - (2/PAI)*ATAN(SQRI((1-X)/X)),I(X,1/2,1) = SQRI(X).

I(X,1.1/2) = 1 - SQRT(1-X).

I(X,1,1) = X,

BETF0018

BETF0019

BETF0020

BETF0021

BETF0022

REIF0023

BETF0024

BETF0025

BETF0026

BETF0027

BETF0028

BFIF0029

BEIF0030

BETF0031

BETF0032

BI.TF0033

BEIF0034

BETF005S

BETFO036

BE1F0037

BETF0038

GB4086.3--83

U(1/2.1/2)=SQRT(X(1-X))/PAI，U(1/2,1) = SQRt(X)*(1-X)/2.

U(1.1/2) = X+SQRT(1-X)/2,

U<1,1) = X(1-X).

INTEGER M,N

DOUBLEPRECISIONS.FI,FM

S = DSQRT(1.000 - X)

M = 2*(N2B/2) - N2B + 2

N = 2*(N2A/2) - N2A + 2

INITIAL VALUE

IF《M.EQ. 2)GOTO 20

IF (N .EQ. 2) G0 T0 10

N2AISODDANDN2BISODD

P = 1.0D0 - 0.63661977236758134D0*DAIAN(S/DSQRT(X))DENS=0.31830988618379067D0*S*DSQRT(X)GOTO 40

CONTINUE

N2A IS EVEN AND N28 IS 000

P = 1.000 - s

DENS = 0.500*S*X

GD TO 40

CONTINUE

IF (N .EQ. 2) GO TO 30

N2A IS ODD AND N2B IS EVEN

P = DSQRT(X)

DENS = 0.5DO*(1.0DO X)*P

GO TO 40

CONTINUE

N2A IS EVEN ANU N2B IS EVEN

DENS = X*(1.ODO X)

40 CONTINUE

SO CONTINUE

RECURRENCE

DO 60 I = N,N2A,2

IF (N2A .LE. I) GO TO 70

P = P - 2.ODO/FI*DENS

DENS = DENS*X*(FM + FI)/FI

60 CONTINUE

7O CONTINUE

DO 80 I = M.N2B,2

IF (N2B .LE. I) GO TO 90

P = P + 2.0D0/FM*BENS

DENS - DENS*(1.ODO - X)*(FM + FI)/FM80 CONTINUE

90 CONTINUE

DENS = DENS/(X*(1.ODO - X))

RETURN

BETF0039

BETF0040

BETF0041

BETF0042

BETF0Q43

BETF0044

BETF0045

BETF0046

BETF0047

BETF0048

BETF0049

BETF0050

BETF0051

BETF0052

BETF0053

BETF0054

BETF0055

BETF0056

BEIF0057

BETF0058

BETF0059

BETF0060

BETF0061

BETF0062

BETF0063

BETF0Q64

BETF006S

BETF0066

BETF0067

BETF0068

BETF0069

BETF0070

BETF0071

BETF0072

BETF0073

BETF0074

BEIF0075

BETF0076

BETF0077

BETF0078

BETF0079

BETF0080

BETF0081

BETF0082

BETF0083

BETF0084

BETF0085

BETF0086

BETF0087

BETF0088

BETF0089

BETF0090

BETF0091

BETF0092

BETFQ093

BETF0094

BETF0095

BETF0096

BETF0097

BETF0098

BETF0099

BETF0100

GB4086.3—

SUBROUTINE BETAXD(P,N2A.N28,EPS,X,IER)INTEGER N2A,N28,IER

DOUBLE PRECISION P,EPS.X

** PURPOSE **

PERCENTAGE POINT OF BETA DISTRIBUTION (INCOMPLETE BETAFUNCTION RATIO) WITH HALF INTEGER PARAMETERS** ARGUMENTS **

DN NETRY

N2A=2*A, (A-1)TH POWER OF × IN BETA DISTRIBUTIONN2A

ON RETURN

BETX0001

BETX0002

BETX0003

BETX0004

BEIX0005

BETX0006

BETX0007

BETX0008

BEIX0009

BETX0010

BETX0011

BE1X0012

BE1x0013

BETX0014

N2B=2*B, (B-1)TH POWER OF (1-X) IN BETA DISTRIBUTION BETX0015LOWER PROBABILITY

REQUIRED PRECISION

PERCENTAGE POINT

ERROR PARAMETER

IER.NE.0 INDICATES P.LE.O OR P.GE.1** REQUIRED ROUTINES **

BETAFD

PERCENTAGE POINT OF NORMAL DISTRIBUTIONDISTRIBUTION FUNCTION OF NORMAL DISTRIBUTIODISTRIBUTION FUNCTION OF BETA OISTRIBUTION**ALGORITHM **

WHEN N2A AND N2B ARE EQUAL TO 1 OR 2, THE PERCENTAGE POINTX(P,N2A/2.N28/2) IS CALCULATED BY FORMULAX(P,1/2,1/2) = 1/(1 + (TAN((PA1/2)*(1-P)))**2),X(P.1/2,2/2) = P**2,

X(P,2/2,1/2) = 1 - (1-P)**2,X(P,2/2,2/2) = P,

FOR THE OTHER UALUES OF N2A AND N2B,HITOTUMATU-S ITERATIONMETHOD IS USED, INITIAL VALUE IS CALCULATED BY YAMAUTI-SFORMULA AND PAULSON-TAKEUCHI-S FORMULA. SEE Z. YAMAUTI.STATISTICAL TABLES AND FORMULAS WITH COMPUTER APPLICATION,JSA-1972, B(2.10)-P.27, B(2.31)-P.33.INTEGER N,MN

DOUBLE PRECISION PAIS.PP,U.DENS,DDENS,R,RDOT.A.B.C.D.F1.F2DATA PAI5/1.57079632679489662D0/IER=O

IF (P .GT. 0.ODO .AND. P .LT. 1.ODO) GO TO 10IER = 129

IF (P .LE. 0.0D0) X = 0.0D0

IF (P .GE. 1.0D0) X = 1.0DO

GOTO100

1O CONTINUE

IF (N2A .GT、 2 .OR. N2B .GT. 2) GO TO 30CASE N2A=1.2 AND N2B=1,2

IF (N2A .EQ. 1 ,AND. N2B -EQ. 1) X = 1.0D0/(1.0D0 +(DSIN(PAI5*(1.ODO-P))/DCOS(PAI5*(1. ODO-P)))**2)IF (N2A .EQ. 1 .AND. N?B .EQ. 2) X = P**2BETX0016

BETX0017

BETX0018

BETX0019

BETX0020

BEIX0021

BEIX0022

BETX0023

BE1X0024

BETX0025

BETX0026

BETX0027

BETX0028

BETX0029

BETX0030

BETX0031

BETX0032

8E1X0033

BETX0034

BETX0035

BETX0036

BETX0037

BEIX0038

BETX0039

BETX0040

BETX0041

BETX0042

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